"....есть фундаментальное различие между математическими и физическим понятиями, сравните, например, определение "математической" и "физической" точки. Так что метрика - это термин, который имеет разное значение в современной математике, физике и в "метафизике" будущего.
  Во-вторых, вы никогда не задумывались, как поставить физический эксперимент по определению мерности пространства? Таких экспериментов можно предложить несколько, но самый простой из них - по размерности коэффициента диффузии в данной области пространства. Там как раз и всплывает дробная мерность - при изучении диффузии пылевых облаков во Вселенной и примесей в воде при смене давления и температуры. Если хотите, в Интернете можно отыскать специальную литературу по этому вопросу. В более популярном изложении, помню, были статьи в "Scientific American" и даже в переводе на русский - в журнале "В мире науки"...."